力学

天体物理

万有引力的势能：25.6

已知地球绕太阳做半径为 $R$ 的匀速圆周运动，线速度为 $V$。另一个小天体从距太阳无限远处由静止开始，仅在太阳万有引力作用下直线向太阳下落。求当小天体到太阳的距离也为 $R$ 时，其瞬时速度 $v$ 与地球速度 $V$ 的比值 ${\displaystyle \frac{v}{V}}$。

万有引力的势能：

$$U=-G{\displaystyle \frac{Mm}{R}}$$

考虑小天体能量守恒：$E={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2+(-G{\displaystyle \frac{Mm}{R}})=0$。

波动

光的折射

曲折率：25.12

一个圆柱状光导纤维由中心部（屈折率 $n_1$）和周边部（屈折率 $n_2$）构成，空气的屈折率为 $1$。光线从空气中以入射角 $\theta$ 射入中心轴垂直的端面，当且仅当 $\theta <{\theta }_0$ 时，光线在中心部与周边部的交界面发生全反射，从而仅在中心部向前传播。求周边部屈折率 $n_2$ 的表达式。

需要注意曲折率之比与角度之比是相反的关系：

$${\displaystyle \frac{\sin {\theta }_1}{\sin {\theta }_2}}={\displaystyle \frac{n_2}{n_1}}$$

电磁学

电容

电容的能量：25.14

电路包含电动势为 $V$ 的电池，电容分别为 $C$ 和 $2C$ 的两个未充电电容器，电阻 $R_1,R_2$ 以及开关 $S_1,S_2$。

1. 先闭合 $S_1$，充分时间后电容器 $C$ 充电完毕，随后断开 $S_1$。

2. 在 $S_1$ 保持断开的状态下闭合 $S_2$，电容器 $C$ 开始向 $2C$ 充电，直到电阻 $R_2$ 中不再有电流流过。

   求在闭合 $S_2$ 到电流停止的整个过程中，电阻 $R_2$ 上产生的焦耳热。

电容的能量：

$$U={\displaystyle \frac{1}{2}}C{V}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}QV={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{Q^2}{V}}$$

第一个过程中，电容的电荷 $Q=CV$。

接下来第二个过程，没有电源提供电压，要想达到平衡状态，电荷需要在两个电容中分配使得电压相等。假设平衡时候的电压是 $V^{\prime }$，电荷量不变：$C{V}^{\prime }+2C{V}^{\prime }=CV$。

焦耳热通过能量守恒求得即可。

电路

电势分析与基尔霍夫定律：25.15

电路中包含一个电动势为 $V$ 的理想电池（内部抵抗忽略），两个阻值为 $R$ 的电阻，以及两个阻值为 $2R$ 的电阻，连接方式如图所示。求流过端子 A 和端子 B 之间导线的电流 $I$ 的表达式。

规定：电流从 $A\to B$ 的方向时 $I>0$，从 $B\to A$ 的方向时 $I<0$。

由于 A 与 B 通过导线直接相连，因此电势必然相等。此时电路上半部分和下半部分完全等效，因此 $V_A=V_B={\displaystyle \frac{1}{2}}V$。然后通过基尔霍夫定律求解即可。

电磁感应

等效电源模型：25.18

一个固定的螺线管线圈，左端为端子 a，右端为端子 b。一根条形磁铁的 N 极指向线圈，在中心轴上做周期性往复运动。磁铁 N 极与线圈右端的距离 $d$ 随时间 $t$ 的变化曲线如图 2 所示。求在 $t_0$ 到 $t_5$ 的时间段内，端子 a 的电位高于端子 b 的电位（即线圈内部感应电动势方向由 b 指向 a）的时间范围。

分析 $t_0\sim t_2$ 时间：

根据楞次定律，磁铁靠近线圈，线圈受到向左磁通量增加，诱导产生 b 端等效 N 极的磁场。根据右手螺旋定则，电流流向是 b 流向 a。

处于开路（或看作等效电源）状态下的线圈，内部电流从低电位流向高电位（由负极流向正极）。在本题中，由于感应电流在内部由 b 流向 a，因此 a 端相当于电源的正极，电位高于 b 端。

接下来解释为什么可以等效看作电源：

我们知道磁通量变化会产生感生涡旋电场，感生涡旋电场会产生感生电动势：$V=-N{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\Delta }t}}$。

然后我们考虑到，这个感生电场其实是做功的，它会搬运电子，因此算是非静电力：$W=qV=Fl=qE(r)\cdot 2\pi r$。

由于是非静电力做功，因此这个和电池是相同的原理。电池是靠化学能产生非静电力搬运电子。

然后我们考虑电势。感生电场是没有电势的，只有电动势。把电子从 a 搬向 b 的过程中，a 会积累正电荷，b 会积累负电荷，a 和 b 之间会产生静电场，就是我们所求的电势。那么，显然 a 的电势高于 b。