原子

粒子性と波動性

光電効果

光照在金属上，金属会发出电子，这被称为光电效应。

光的粒子性：

每个光子的能量：

$$E=h\nu$$

其中 $h$ 是プランク定数，$\nu$ 是光の振動数。

光子照到金属上，一部分做功 $W$ 用以将电子逸出，剩下的成为电子的动能。因此我们有光電効果のエネルギー保存則：

$${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_{max}^2=h\nu -W$$

由于电子逸出所需能量不同，因此这里特指 $v_{max}$。

本来电子飞出来后会冲向阳极形成电流。现在我们把电池反接，给电子施加一个阻止電圧。此时电流为 $0$，电场所做的功和电子的动能相等：

$${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_{max}^2=e{V}_0$$

コンプトン効果

光子和电子碰撞，会产生像力学碰撞一样的现象。

动量守恒和能量守恒是成立的：

$$\begin{gathered} E=h\nu \\ p={\displaystyle \frac{h}{\lambda }}={\displaystyle \frac{h\nu }{c}} \end{gathered}$$

我们尝试推导光子的动量：

由狭义相对论：

$$E^2=(pc{)}^2+(m{c}^2{)}^2$$

由于光子不具有质量，因此：

$$E=pc$$

因为：

$$E=h\nu$$

因此：

$$p={\displaystyle \frac{h\nu }{c}}={\displaystyle \frac{h}{\lambda }}$$

物質波

$$\lambda ={\displaystyle \frac{h}{p}}={\displaystyle \frac{h}{mv}}$$

ブラッグ反射

ブラッグ条件：

$$2d\sin \theta =n\lambda$$

需要注意，$\theta$ 并不是入射角，而是射线与晶面的夹角。

原子構造

ボーアの水素原子モデル

由粒子性导出：

$$m{\displaystyle \frac{v^2}{r}}=k{\displaystyle \frac{e^2}{r^2}}$$

由波动性导出：

为了让电子形成驻波，轨道长度必须是波长的整数倍。因此我们得到量子条件：

$$2\pi r=n\cdot {\displaystyle \frac{h}{mv}}$$

其中 $n$ 是主量子数。

综合可得：

$$r={\displaystyle \frac{h^2}{4{\pi }^{2}km{e}^2}}\cdot n^2$$

接下来我们推导电子的力学能量 $E$。

我们有势能：

$$U=-{\displaystyle \frac{k{e}^2}{r}}$$

动能：

$$E_k={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2={\displaystyle \frac{k{e}^2}{2r}}$$

于是我们可得：

$$E=U+E_k=-{\displaystyle \frac{k{e}^2}{2r}}$$

在玻尔模型中，电子的动能、电势能、总能量的大小关系永远是 $E_k:U:E=1:-2:-1$。

代入我们之前求出的 $r$：

$$E=-{\displaystyle \frac{2{\pi }^2{k}^{2}m{e}^4}{h^2}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{n^2}}$$

于是我们可知：

$$E_n\propto -{\displaystyle \frac{1}{n^2}}$$

这就是能级：

电子的能量不是连续的，而是只能取一个个离散的值。

$n=1$ 时，能量最低（绝对值最大，负得最多），电子被绑得最紧，这叫基底状態。

$n\ge 2$ 时，能量变高（越来越接近 0），这叫励起状態。

当 $n\to \mathrm{\infty }$ 时，$E\to 0$，电子彻底挣脱束缚，原子被电离。

電子遷移

振動数条件：电子在不同能级（轨道）之间跳跃时，能量差不能凭空消失，必须以光子的形式释放（或吸收）。 根据能量守恒，释放的光子能量 $h\nu$ 刚好等于两个能级之间的能量差：

$$h\nu =E_{n^{\prime }}-E_n$$

放出的光有这几类：

1. ライマン系列：最终能级 $n=1$，紫外线。
2. バルマー系列：最终能级 $n=2$，可见光。
3. パッシェン系列：最终能级 $n=3$，红外线。

X 線の発生

1. 連続 X 線：电子被数万伏特的高压加速后，像子弹一样撞击金属靶（阳极）。高速电子在撞击中被猛烈减速。电磁学告诉我们，带电粒子变速运动就会向外辐射电磁波。因为每个电子撞击的方式、减速的程度千差万别，所以释放出的光子能量也是连续分布的。

   虽然波长是连续的，但它有一个绝对的下限，即电子在一次撞击中，把全部的动能全部变成了一个光子：

   $$\begin{gathered} eV={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2=h{\nu }_0=h{\displaystyle \frac{c}{{\lambda }_0}} \\ {\lambda }_0={\displaystyle \frac{hc}{eV}} \end{gathered}$$

   最短波长 ${\lambda }_0$ 只由加速电压 $V$ 决定，电压越高，${\lambda }_0$ 越短。

2. 固有 X 線：

   

   有些高速电子没被挡住，把金属靶原子最内层的电子给撞飞了。 这时，原子内层出现了一个“空席”。外层轨道上的电子就会立刻掉下来填补这个空席。

   因为靶原子的能级差是固定的，所以释放出的 X 射线波长也是极其精确的几个固定值。

   固有 X 射线的波长只由靶材决定，跟加速电压 $V$ 毫无关系。

这是一份完全仿照你的笔记风格，为你整理的“原子核”部分的复习大纲。

原子核

原子核の構造

• 原子核由带正电的陽子（质子）和不带电的中性子（中子）构成，它们统称为核子。
• 質量数 $A$ = 质子数 + 中子数。
• 原子番号 $Z$ = 质子数。
• 元素符号表示为 ${}_Z^A\text{X}$，其中中子数为 $A-Z$。
• 同位体 (アイソトープ)：质子数（原子序数）相同但中子数（质量数）不同的原子互为同位素。它们的化学性质相同，但质量不同。
• 核力：核子之间存在的引力。在相邻核子间，核力远大于质子间的库仑斥力，从而使原子核能够稳定存在。
• 原子質量単位 [u]：规定 ${}^{12}\text{C}$ 原子的质量精确为 12 u，1 u 大约等于 1 个核子的质量。

放射性崩壊

不稳定的原子核会发生衰变并释放放射線。主要有三种类型：

1. $\alpha$ 崩壊：释放出高速的氦原子核（$\alpha$ 射线，即 ${}_2^4\text{He}$）。衰变后，原子序数减 2，质量数减 4。
2. $\beta$ 崩壊：原子核内的中子突变为质子，同时释放出高速电子（$\beta$ 射线）。衰变后，原子序数加 1，质量数不变。此过程微观上也满足电荷守恒。
3. $\gamma$ 崩壊：原子核有能级分布，从高能级状态跃迁到低能级状态时，释放出极短波长的电磁波（$\gamma$ 射线光子）。通常伴随 $\alpha$ 或 $\beta$ 衰变发生，不改变原子序数和质量数。

電離作用と透過力：放射线的电离作用（将周围原子离子化的能力）和穿透能力成反比关系。

• $\alpha$ 射线：电离作用大，穿透力小。
• $\gamma$ 射线：电离作用小，穿透力大。

半減期 $T$： 放射性原子的数量减少到原来一半所需的时间。原子核的衰变是一个概率现象。假设初始原子数为 $N_0$，经过时间 $t$ 后未发生衰变的剩余原子数 $N$ 为：

$$N=N_0{\left(\frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{T}}$$

由于放射性物质原子数量极大，这在宏观上表现为极其稳定的统计规律。此公式同样适用于放射性物质的质量或辐射强度的计算。

質量欠損と結合エネルギー

質量欠損 $\mathrm{\Delta }m$

将原子核拆散成单个核子后的总质量，大于原本原子核的质量，这个质量差就是质量亏损。

$$\mathrm{\Delta }m=Z{m}_p+(A-Z)m_n-M$$

其中 $m_p$ 为质子质量，$m_n$ 为中子质量，$M$ 为原子核质量。在原子核的世界里，传统的质量守恒定律是不成立的。

質量とエネルギーの等価性

根据相对论，质量是能量的一种形式，质量 $m$ 对应的静止能量 $E$ 公式为：

$$E=m{c}^2$$

結合エネルギー $\mathrm{\Delta }E$

把原子核拆散成独立核子所需的能量（由于分散状态的静止能量大于原子核状态，这个差值即为结合能）。

$$\mathrm{\Delta }E=\mathrm{\Delta }m\cdot c^2$$

将结合能除以核子数所得的 $\mathrm{\Delta }E/A$（单个核子的结合能）是衡量原子核稳定性的指标，值越大说明原子核越稳定。轻核容易发生聚集而变得稳定的核融合，重核容易发生分裂而变得稳定的核分裂。

原子核反応

原子核反応式

在核反应方程式中，反应前后的質量数の和与原子番号の和分别保持相等。

• 质量数之和守恒的背景是核子数守恒。
• 原子序数之和守恒的背景是电荷守恒。

エネルギー保存則

在核反应中，必须将各粒子的静止能量考虑在内。

$$\text{静止能量 }m{c}^2+\text{ 动能 }\frac{1}{2}m{v}^2=\text{常数}$$

反应中“产生的能量（発生したエネルギー）”来源于反应前后总质量的减少部分 $\mathrm{\Delta }m$。这部分缺失的质量转化为系统增加的动能：

$$\text{产生的能量}=\mathrm{\Delta }m\cdot c^2$$

这里 $\mathrm{\Delta }m=(\text{反应前总质量})-(\text{反应后总质量})$。

運動量保存則

由于核反应在真空中发生，不受外界作用力影响，因此动量守恒定律在此依然完全成立。特别是在静止状态下发生分裂时，产生的两个粒子的动能之比，等于它们质量的反比。