熱

固体・液体

比熱

$$Q=mc\mathrm{\Delta }T$$

，其中 $c$ 是比熱（比热容），单位为 $\text{J}/\text{kg}\cdot \text{K}$。

使物体温度上升 $1\text{K}$ 所需要的热量被称为熱容量。

気体

理想気体の状態方程式

• ボイルの法則：$T$ 一定时，$PV$ 为定值。
• シャルルの法則：$P$ 一定时，${\displaystyle \frac{V}{T}}$ 为定值。
• ボイル・シャルルの法則：${\displaystyle \frac{PV}{T}}$ 为定值。

理想气体状态方程：

$$PV=nRT$$

其中 $R$ 为気体定数。

分子運動

考虑一边长为 $L$ 的正方体中有 $N$ 个分子。考虑一质量为 $m$ 的分子在 $x$ 方向上以 $v_x$ 的速度与面 $S$ 发生弹性碰撞，根据动量定理，则有 $S$ 对分子的冲量：

$$I^{\prime }=\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}=-m{v}_x-m{v}_x=-2m{v}_x$$

分子对 $S$ 的冲量：

$$I=-I^{\prime }=2m{v}_x$$

$t$ 时间内分子在 $x$ 方向上总路程为 $v_{x}t$，与 $S$ 碰撞次数为 ${\displaystyle \frac{v_{x}t}{2L}}$，则总冲量为：

$$I_x=I\cdot \frac{v_{x}t}{2L}={\displaystyle \frac{m{v}_x^{2}t}{L}}$$

对于总分子量 $N$ 的气体，有在 $x$ 方向上的总冲量：

$$I_{Nx}=N{I}_x={\displaystyle \frac{Nm\overline{v_x^2}t}{L}}$$

则有气体对 $S$ 的总压力：

$$F_x={\displaystyle \frac{I_{Nx}}{t}}={\displaystyle \frac{Nm\overline{v_x^2}}{L}}$$

则对于 $\overline{v_x}=\overline{v_y}=\overline{v_z}$，$\overline{v^2}=\overline{v_x^2}+\overline{v_y^2}+\overline{v_z^2}=3\overline{v_x^2}$。

可得：

$$F={\displaystyle \frac{Nm\overline{v^2}}{L}}$$

有气体对 $S$ 的压强：

$$P={\displaystyle \frac{F}{L^2}}={\displaystyle \frac{Nm\overline{v^2}}{3L^3}}={\displaystyle \frac{Nm\overline{v^2}}{3V}}$$

由理想气体状态方程：

$$PV=nRT={\displaystyle \frac{N}{N_A}}RT={\displaystyle \frac{Nm\overline{v^2}}{3}}$$

则有：

$$\overline{E_k}={\displaystyle \frac{1}{2}}m\overline{v^2}={\displaystyle \frac{3RT}{2N_A}}={\displaystyle \frac{3}{2}}kT$$

即为分子的平均动能，其中 $k$ 被称为ボルツマン定数。

気体の内部エネルギー

对于単原子気体：

$$U=N\overline{E_k}={\displaystyle \frac{3}{2}}nRT$$

由此可得，气体内能仅与 $T$ 有关。

值得注意的是，$U={\displaystyle \frac{3}{2}}nRT$ 仅能在单原子气体的情况下适用，而 $\overline{E_k}={\displaystyle \frac{3}{2}}kT$ 均可使用。

気体の仕事

考虑一定压强为 $P$ 的气体，对其加热时推动了面积为 $S$ 的活塞 $\mathrm{\Delta }l$ 的距离，此时气体对外做功 $W^{\prime }$ 为：

$$W^{\prime }=PS\mathrm{\Delta }l=P\mathrm{\Delta }V$$

且有气体被做功：

$$W=-W^{\prime }=-P\mathrm{\Delta }V$$

$P-V$ グラフ

由于 $W=-P\mathrm{\Delta }V$，因此 $P-V$ 图中某线段下面积即为功；对于等温变化的直角双曲线的一支（被称为等温線），越往右上温度越高，反之越低。

熱力学第１法則

热力学第一定律：

$$\mathrm{\Delta }U=Q+W$$

其中，当内能增加、吸收热量、被做功时，符号为正；内能减少、释放热量、对外做功时，符号为负。

四种特殊变化：

• 等温変化：$\mathrm{\Delta }U=0$
• 断熱変化：$Q=0$
• 定積変化：$W=0$
• 定圧変化：$W=-P\mathrm{\Delta }V$ または $W^{\prime }=P\mathrm{\Delta }V$

気体の比熱

使 $1\text{mol}$ 气体温度上升 $1\text{K}$ 所需要的热量被称为モル比熱。定積モル比熱记作 $C_V$，定圧モル比熱记作 $C_P$，则有：

• 定積変化：$Q=n{C}_V\mathrm{\Delta }T$
• 定圧変化：$Q=n{C}_P\mathrm{\Delta }T$

且有 $C_P=C_V+R$，并且对于单原子气体，$C_V={\displaystyle \frac{3}{2}}R,C_P={\displaystyle \frac{5}{2}}R$。

下面尝试证明 $C_P=C_V+R$：

考虑 $n\text{mol}$ 定积摩尔比热容为 $C_V$ 的气体，使其温度上升 $\mathrm{\Delta }T$。

在定积变化的情况下：

$$\mathrm{\Delta }{U}_V=Q_V=n{C}_V\mathrm{\Delta }T$$

在定压变化的情况下：

$$\begin{gathered} W_P=-P\mathrm{\Delta }V=-nR\mathrm{\Delta }T \\ \mathrm{\Delta }{U}_P=W_P+Q_P \\ {Q}_P=\mathrm{\Delta }{U}_P-W_P=\mathrm{\Delta }{U}_P+nR\mathrm{\Delta }T \end{gathered}$$

由于上升温度相同，则内能变化也相同，即：

$$\mathrm{\Delta }{U}_P=\mathrm{\Delta }{U}_{B}V=n{C}_V\mathrm{\Delta }T$$

有：

$$Q_P=n{C}_P\mathrm{\Delta }T=n(C_V+R)\mathrm{\Delta }T$$

即：

$$C_P=C_V+R$$

断熱変化

断热变化单独的公式：$P{V}^{\gamma }$ 为定值，其中 $\gamma ={\displaystyle \frac{C_P}{C_V}}$。

由于 $\gamma >1$，因此在 $P-V$ 图上，断熱線呈现出比等温线更加陡峭的趋势。对于断热压缩来说，压强上升的同时温度上升，因此同压强的点会向右偏移；反之，对于断热膨胀，压强下降、温度下降，同压强的点会向左偏移。

変化のまとめ

	$PV=nRT$	$\mathrm{\Delta }U=Q+W$
定積変化	$P\propto T$	$Q=n{C}_V\mathrm{\Delta }T,W=0$
定圧変化	$V\propto T$	$Q=n{C}_P\mathrm{\Delta }T,W=-P\mathrm{\Delta }V$
等温変化	$PV=k$	$\mathrm{\Delta }U=0$
断熱変化	$P{V}^{\gamma }=k$	$Q=0$

$$\mathrm{\Delta }U=n{C}_V\mathrm{\Delta }T$$

熱効率

气体在一个热循环中吸收的总热量为 $Q_{IN}$，对外做的正味の仕事为 $W_{\mathrm{正}\mathrm{味}}^{\prime }$，则热效率为：

$$e={\displaystyle \frac{W_{\mathrm{正}\mathrm{味}}^{\prime }}{Q_{IN}}}$$

其中 $W_{\mathrm{正}\mathrm{味}}^{\prime }$ 为 $P-V$ 图中热循环所围成的面积。