简谐运动浅析

定义

当某物体进行简谐运动时，物体所受的力的大小与位移的大小成正比，并且力总是指向平衡位置.

回复力

考虑一水平面上无摩擦弹簧振子，弹性系数为 $k$，弹簧伸长量为 $x$，则物体受弹簧力为：

$$F=-kx$$

则称 $F$ 为物体受到的回复力. 回复力是简谐振动的运动学核心.

与圆周运动的关系

记该简谐运动的振幅 $A$，周期 $T$，频率 $f$，角频率 $\omega$.

简谐振动实质上可以看作是圆周运动在一维坐标轴上的投影.

则简谐运动有数学描述：

$$x(t)=A\sin (\omega t+\phi )$$

. 其中 $\phi$ 为该运动的初相位，$\omega t+\phi$ 为该运动的相位.

速度与加速度

对位移方程

$$x(t)=A\cos (\omega t+\phi )$$

求导，可得速度方程：

$$v(t)=-\omega A\sin (\omega t+\phi )$$

. 再次求导：

$$a(t)=-{\omega }^{2}A\sin (\omega t+\phi )=-{\omega }^{2}x(t)$$

. 根据牛顿第二定律：

$$-kx=ma$$

，可得：

$$k=m{\omega }^2$$

. 这是简谐运动中重要的一个等量关系.

由上述可得：

$$T={\displaystyle \frac{2\pi }{\omega }}=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{m}{k}}}$$

.

能量守恒

显然，该系统符合机械能守恒定律. 我们有：

$${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_0^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}k{l}_0^2-mg{h}_0={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_p^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}k{l}_p^2-mg{h}_p$$

，其中 $l$ 为弹簧伸长量.

竖直方向上的弹簧振子

考虑一竖直方向的弹簧振子，有重力、无摩擦. 弹簧自然长为 $l_o$，到达平衡位置的伸长量为 $l$.

则有：

$$F=-k(l+x)$$

. 此时有：

$$T=2\pi \sqrt{{\displaystyle \frac{m}{k}}}$$

. 不难发现，比例系数仍只和弹性系数相关，而与重力无关.

同时我们定义简谐运动的势能：

$$U={\displaystyle \frac{1}{2}}k{x}^2$$

，其中 $x$ 为物体偏离平衡重心的偏移量.

则我们有能量守恒公式：

$${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_0^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}k{x}_0^2={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_p^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}k{x}_p^2$$

. 我们可以发现，这个公式与重力势能无关. 现在我们尝试证明两个等式等价：

记到达平衡位置的伸长量为 $l$，偏离平衡位置的伸长量为 $x$. 同时定义平衡位置的水平面为重力势能的零势能面.

$$\begin{array}{rl}E& ={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}k(l+x{)}^2-mgx\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}k{l}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}k{x}^2+klx-mgx\end{array}$$

. 由于

$$kl=mg$$

，所以：

$$\begin{array}{rl}E& ={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}k(l+x{)}^2-mgx\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}k{l}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}k{x}^2+mgx-mgx\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}k{l}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}k{x}^2\end{array}$$

. 而显然，对于 $\mathrm{\Delta }E$，$\mathrm{\Delta }l$ 为 $0$. 所以有：

$${\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_0^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}k{x}_0^2={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_p^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}k{x}_p^2$$

. 得证.

从弹簧振子回归本质

由上述可知，重力仅改变了该弹簧振子间歇运动的平衡位置，对比例系数没有直接关联.

尝试回到定义，可知简谐运动即为满足 $F=-kx$ 的运动，因此先求出该公式并得到 $k$ 是至关重要的. 只是在大多数情况下，弹簧振子的弹性系数 $k$ 与简谐运动的比例系数 $k$ 一致.