電気

クーロンの法則

電荷 $q$，单位クーロン$[C]$，

クーロンの法則：真空中两静止点电荷之间的力：

$$F=k{\displaystyle \frac{q_1{q}_2}{r^2}}$$

其中 $k={\displaystyle \frac{1}{4\pi \epsilon }}$，$\epsilon$ 被称为誘電率。

库仑力有叠加原理，即：

$$\mathit{F}=\sum _i{\mathit{F}}_{\mathit{i}}$$

電場

为了描述电场强度，我们在点电荷电场中放置一试探电荷 $q$，则我们发现 ${\displaystyle \frac{\mathit{F}}{q}}$ 与 $q$ 无关，则我们可以定义電場の強さ：

$$\mathit{E}={\displaystyle \frac{\mathit{F}}{q}}$$

代入库仑定律，可得：

$$\mathit{E}={\displaystyle \frac{\mathit{F}}{q}}=k{\displaystyle \frac{Q}{r^2}}\widehat{e_r}$$

同样，场强也满足叠加原理。

在连续带电体中，电场需要积分：

$$\mathit{E}=\int \mathrm{d}\mathit{E}$$

我们定义电荷体密度 $\rho ={\displaystyle \frac{Q}{V}}$，面密度 $\sigma ={\displaystyle \frac{Q}{S}}$，线密度 $\lambda ={\displaystyle \frac{Q}{l}}$，则匀强电场：

$$\mathit{E}=\int k{\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{r^2}}=\int k{\displaystyle \frac{\sigma \mathrm{d}S}{r^2}}={\displaystyle \frac{\sigma }{\epsilon }}={\displaystyle \frac{Q}{\epsilon S}}$$

ガウスの法則

首先引入電気力線的概念：用于描绘电场，其每一点切线的方向与电场方向相同的曲线。

在高斯定理之前，我们需要先引入电通量電束。在电荷外取任意一面元 $\mathrm{d}\mathit{S}$，假定通过它的场强为 $\mathit{E}$，则可定义电通量：

$$\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_E=\mathit{E}\cdot \mathrm{d}\mathit{S}$$

那么通过整个闭合曲面 $S$ 的电通量为：

$$\text{Phi\_E=intmathrm{d}Phi\_E=oiintlimits\_{S}boldsymbol{E}cdot mathrm{d}boldsymbol{S}}$$

ガウスの法則：

对于一点电荷 $Q$ 外的，半径为 $r$ 的球面，我们可得：

$$\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_E=\mathit{E}\cdot \mathrm{d}\mathit{S}=E\mathrm{d}S={\displaystyle \frac{kQ}{r^2}}\mathrm{d}S$$

总电通量为：

$${\mathrm{\Phi }}_E=\int \mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_E={\displaystyle \frac{kQ}{r^2}}\int \mathrm{d}S=4\pi kQ={\displaystyle \frac{Q}{\epsilon }}$$

我们发现 ${\mathrm{\Phi }}_E$ 与 $r$ 无关，即高斯定理：

通过任意闭合曲面的电通量只与闭合曲面内的电荷量有关。

在日本教科书中的表示为：

$$N={\displaystyle \frac{kQ}{r^2}}\times 4\pi r^2=4\pi kQ={\displaystyle \frac{Q}{\epsilon }}$$

其中 $N$ 是电场线数量。

電位

我们发现，库仑力做功仅于位置有关，而与路径无关。显然，库仑力是保守力。我们不妨假设点电荷 $q$ 绕某一回路移动一圈，则做功：

$$W=\underset{l=l_1+l_2}{\oint }\mathit{E}\cdot \mathrm{d}\mathit{r}=0$$

将这个积分打开：

$$\underset{l_1}{\int }\mathit{E}\cdot \mathrm{d}\mathit{r}+\underset{l_2}{\int }\mathit{E}\cdot \mathrm{d}\mathit{r}=0$$

则我们可以定义位置函数電位$V$，则电势差：

$$V=V_A-V_B={\int }_A^B\mathit{E}\cdot \mathrm{d}\mathit{r}$$

同时定义某位置上的电势能：

$$U=qV$$

电势 $V$ 的单位是ボルト$[V]$。

注：在中国高中物理体系中，电势的符号为 $\phi$，电势差的符号为 $U$，电势能的符号为 $E_p$，由于差别很大容易混淆，需要注意。本文将采用日本高中物理体系的记号。

点電荷の電位

我们试想一试探电荷 $q$ ，从位置 $A$ 移动到位置 $B$，则：

$$W=q{V}_A-q{V}_B=q{\int }_A^B\mathit{E}\cdot \mathrm{d}\mathit{r}$$

如果 $B$ 点电势为零（通常定义无限远为零电势），则：

$$\begin{array}{rl}{V}_A& ={\int }_A^{\mathrm{\infty }}\mathit{E}\cdot \mathrm{d}\mathit{r}\\ & ={\int }_A^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{kQ}{r^2}}\mathrm{d}r\\ & ={\displaystyle \frac{kQ}{r}}\end{array}$$

一様な電場での電位

在匀强电场中：

$$\begin{array}{rl}V& ={\int }_A^B\mathit{E}\cdot \mathrm{d}\mathit{r}\\ & =\mathit{E}\cdot \mathrm{\Delta }\mathit{r}\\ & =Ed\end{array}$$

其中 $d$ 是两点间沿着电场方向的距离。

コンデンサー

平行板电容器，我们定义コンデンサー的電気容量：

$$C={\displaystyle \frac{Q}{V}}$$

由于平行板间是匀强电场，我们有：

$$V=Ed$$

以及：

$$E={\displaystyle \frac{Q}{\epsilon S}}$$

我们可以得到电容量的决定式：

$$C=\epsilon {\displaystyle \frac{S}{d}}={\epsilon }_r{ϵ}_0{\displaystyle \frac{S}{d}}$$

单位为ファラド$[F]$。

コンデンサーの合成

并联：$C=\sum _i{C}_i$；

串联：${\displaystyle \frac{1}{C}}=\sum _i{\displaystyle \frac{1}{C_i}}$。

極板間への挿入

在电容的极板中插入金属板或者导体，可以看作是把原来的电容拆分成若干个不同的电容进行串联和并联。

電位による解法

对于极板 $A$，$B$，我们有：

$$\begin{gathered} Q_A=C\times (V_A-V_B) \\ {Q}_B=C\times (V_B-V_A) \end{gathered}$$

コンデンサーの充電と放電

充電

我们考虑一基础电路，包括一个电压为 $V$ 的电源，一个电阻 $R$，以及一个电容器 $C$。

初始状态时，$Q=0$，极板两侧电压都是 $0$，此时电容可以看作是一根导线。

充电过程中，$Q$ 逐渐增大，极板间电势差 $v$ 逐渐增大。此时 $R$ 的电压为 $V-v$，电路的电流为 $I={\displaystyle \frac{V-v}{R}}$，逐渐减小。

充电完成后，$Q=CV$，此时电流为 $0$，电容可以看作是断路。

放電

我们考虑一基础电路，包括一充满电的，电压为 $V$ 的电容 $C$，一个电阻 $R$。

初始状态时，电容可以看作一个电压为 $V$ 的电源。

放电过程中，$Q$ 逐渐减小，电势差 $v$ 逐渐减小，此时电流为：$I={\displaystyle \frac{v}{R}}$，逐渐减小。

コンデンサーのエネルギー

考虑一平行板电容器，对它充电相当于把 $\mathrm{d}q$ 的电量运送到对面的极板上。假设某时刻电势差为 $u={\displaystyle \frac{q}{C}}$，则需要克服电场力做功：

$$W=\int \mathrm{d}W={\int }_0^{Q}u\mathrm{d}q={\int }_u^Q{\displaystyle \frac{q}{C}}\mathrm{d}q={\displaystyle \frac{Q^2}{2C}}$$

同时我们有：

$$U={\displaystyle \frac{Q^2}{2C}}\iff U={\displaystyle \frac{1}{2}}QV\iff U={\displaystyle \frac{1}{2}}C{V}^2$$

エネルギー保存則

$$W+W_{\mathrm{外}}=\mathrm{\Delta }U+H$$

其中，$W=QV$ 是电源做功。$W_{\mathrm{外}}$ 是外力做功。$\mathrm{\Delta }U$ 是变化的静电能，$H=I^{2}R$ 是焦耳热。

極板間の引力

$$F={\displaystyle \frac{1}{2}}QE$$

直流回路

電流

我们可以定义電流：

$$I={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }Q}{\mathrm{\Delta }t}}$$

单位为アンベア $[A]$。

接下来我们从微观上解释电流。我们假设电荷通过载流子定向运动形成电流，那么我们可以定义载流子的数密度：

$$n={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }N}{\mathrm{\Delta }V}}$$

那么：

$$Q=e\mathrm{\Delta }N=en\mathrm{\Delta }V$$

我们假设载流子的速度为 $v$，那么：

$$\mathrm{\Delta }V=vS\mathrm{\Delta }t$$

$S$ 是垂直于电流的平面。

于是我们就可以得到：

$$I=envS$$

オームの法則

对于一段长 $l$ 的导体，我们给它通上电压 $V$，那么导体中会产生匀强电场 $E={\displaystyle \frac{V}{l}}$，给电子一个静电力 $F=eE$，这会驱动电子正向加速移动。

为了保证电子受力平衡，电阻会给电子施加一个阻力，这个阻力与 $v$ 成正比，可以表示成 $F=kv$。

所以我们有：

$$kv=eE$$

以及：

$$v={\displaystyle \frac{eE}{k}}-{\displaystyle \frac{eV}{kl}}$$

将这个式子带回电流的决定式我们就可以得到：

$$V={\displaystyle \frac{kl}{e^{2}nS}}I$$

我们发现这个式子中，$k,l,S$ 都近与电阻本身有关，因此我们可以定义抵抗：

$$R=\rho {\displaystyle \frac{l}{S}}$$

其中 $\rho ={\displaystyle \frac{k}{e^{2}n}}$ 仅与电阻本身材质有关。

抵抗の合成

串联：$R=\sum _i{R}_i$

并联：${\displaystyle \frac{1}{R}}=\sum _i{\displaystyle \frac{1}{R_i}}$

可以发现，电阻的合成和电容器的合成是相反的。

キルヒホッフの法則

キルヒホッフの第一法則：又称节点电流方程。任意节点流入的电流等于流出的电流。

キルヒホッフの第二法則：又称回路电压方程。沿任意回路一周，电势升降后保持不变。

在做题中，通常使用第一法则来减少未知数数量，再通过第二法则求解。也可以全列出之后行列式求解。

ジュール熱

电流流经电阻就会产生ジュール熱。

$$Q=R{I}^{2}t=VIt={\displaystyle \frac{V^2}{R}}t$$

磁場

磁場

电流会产生磁场。在通电导线中取出长为 $\mathrm{d}\mathit{l}$ 的线元，与电流 $I$ 相乘得到电流元 $I\mathrm{d}\mathit{l}$。它激发出来的磁场是环形的，并且方向遵循右手螺旋法则。

空间一点 $P$ 离开 $I\mathrm{d}\mathit{l}$ 的距离是 $\mathit{r}={\mathit{e}}_{\mathit{r}}r$，那么电流元 $I\mathrm{d}\mathit{l}$ 在 $\mathit{r}$ 处激发的磁感应强度（磁束密度）：

$$\mathrm{d}\mathit{B}={\displaystyle \frac{\mu }{4\pi }}\cdot {\displaystyle \frac{I\mathrm{d}\mathit{l}\times {\mathit{e}}_{\mathit{r}}}{r^2}}$$

单位テスラ$[\text{T}]$。

直線電流

我们考虑一长 $L$ 的通电直导线，电流为 $I$，空间内一点 $P$ 距离导线的距离为 $r$，到端点的方向角分别为 ${\theta }_1,{\theta }_2$。

考虑垂足 $O$，其上 $l$ 的电流元 $I\mathrm{d}l$，激发的磁感应强度为：

$$\mathrm{d}B={\displaystyle \frac{\mu }{4\pi }}\cdot {\displaystyle \frac{I\mathrm{d}l\cdot \sin \theta }{(r^{\prime }{)}^2}}$$

其中：

$$r^{\prime }={\displaystyle \frac{r}{\sin \theta }},l=-r\cot \theta ,\mathrm{d}l={\displaystyle \frac{r\mathrm{d}\theta }{{\sin }^2\theta }}$$

于是我们可以得到：

$$\mathrm{d}B={\displaystyle \frac{\mu I}{4\pi r}}\sin \theta \mathrm{d}\theta$$

积分可得：

$$B=\int \mathrm{d}B={\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}{\displaystyle \frac{\mu I}{4\pi r}}\sin \theta \mathrm{d}\theta ={\displaystyle \frac{\mu I}{4\pi r}}(\cos {\theta }_2-\cos {\theta }_1)$$

对于无限长的直导线，有 ${\theta }_1=0,{\theta }_2=\pi$，所以：

$$B={\displaystyle \frac{\mu I}{2\pi r}}$$

円形電流

考虑一半径为 $R$，电流为 $I$ 的环形电流，中轴线有一点 $P$，距离圆心 $r$。

考虑其上的电流元 $I\mathrm{d}l$，激发的磁感应强度为：

$$\mathrm{d}B={\displaystyle \frac{\mu }{4\pi }}\cdot {\displaystyle \frac{I\mathrm{d}l}{(r^{\prime }{)}^2}}$$

注意到此时的 $\mathrm{d}B$ 的方向并不是水平或竖直的，需要分解。而根据对称性，$\int \mathrm{d}{B}_{\perp }=0$。

因此我们有：

$$B=\int \mathrm{d}B\cdot \sin \theta ={\displaystyle \frac{\mu IR}{4\pi (r^2+R^2{)}^{3/2}}}\oint \mathrm{d}l={\displaystyle \frac{\mu I{R}^2}{2(r^2+R^2{)}^{3/2}}}$$

在 $O$ 点处，有：

$$B={\displaystyle \frac{\mu I}{2R}}$$

ソレノイド

考虑一半径为 $R$ 的螺线管，电流为 $I$，匝数密度为 $n$。将每匝线圈当作平面环形电流处理，有：

$$\mathrm{d}B={\displaystyle \frac{\mu R^{2}nI\mathrm{d}l}{2(R^2+l^2{)}^{3/2}}}$$

由于：

$$l=R\cot \beta ,\mathrm{d}l=-{\displaystyle \frac{R\mathrm{d}\beta }{{\sin }^2\beta }},r^2=R^2+l^2={\left({\displaystyle \frac{R}{\sin \beta }}\right)}^2$$

我们有：

$$\mathrm{d}B=-{\displaystyle \frac{\mu nI}{2}}\sin \beta \mathrm{d}\beta$$

积分可得：

$$B=\int \mathrm{d}B={\displaystyle \frac{\mu nI}{2}}(\cos {\beta }_2-\cos {\beta }_1)$$

对于无限长螺线管，${\beta }_1=\pi ,{\beta }_2=0$，我们有：

$$B=\mu nI$$

磁界

我们定义磁極的强度磁気量 $m$，单位ウェーバ$[\text{Wb}]$。那么两个磁极间的相互作用力就是：

$$F=k_m{\displaystyle \frac{m_1{m}_2}{r^2}}$$

其中 $k_m={\displaystyle \frac{1}{4\pi \mu }}$，称为比例系数。$\mu$ 被称为透磁率。

由此我们可以定义磁場(磁界)：

$$\mathit{H}={\displaystyle \frac{\mathit{F}}{m}}$$

$H$ 和 $B$ 有如下关系：

$$B=\mu H$$

日本的教学体系定义了磁场 $\mathit{H}$，将磁场强度和磁感应强度分开。但是只需要注意，$B$ 和 $H$ 只差一个比例系数。为了叙述方便，后文中的磁场、磁场强度、磁感应强度均指代 $\mathit{B}$。

因此我们可以得到前面三种磁场以 $H$ 的表达形式。

• 直線電流：

$$H={\displaystyle \frac{I}{2\pi r}}$$

• 円形電流：

$$H={\displaystyle \frac{I}{2r}}$$

• ソレノイド：

$$H=nI$$

電磁力

电流流经磁场会受到電磁力（安培力）：

$$\mathit{F}=I\mathit{L}\times \mathit{B}$$

安培力有等效原理：一条弯曲的导线等效于首尾相连的直导线。

ローレンツ力

磁场会对带点电荷产生力的作用，被称为ローレンツ力：

$$\mathit{F}=q\mathit{v}\times \mathit{B}$$

其中 $\mathit{v}$ 是粒子速度，$q$ 是电荷量。

注意 $q$ 是有正负的，会影响方向，千万不要忘记。

電磁力とローレンツ力の関係

我们知道电流的表达式：

$$I=nevS$$

安培力为：

$$F=BIL=BnevSL=NevB$$

洛伦兹力为：

$$f={\displaystyle \frac{F}{N}}=evB$$

可见，安培力是洛伦兹力的宏观表现，而洛伦兹力是安培力的微观本质。然而事实并不完全如此。洛伦兹力是外加磁场对运动的电子的作用力，而安培力是霍尔电场对原子实的作用力。这就解释了为什么安培力是可以做功的，但洛伦兹力是不能做功的。

電磁誘導

磁束

我们定义磁束，中文磁通量：

$$\mathrm{\Phi }=\mathit{B}\cdot \mathit{S}$$

也就是：

$$\mathrm{\Phi }=B{S}_{\perp }=BS\cos \theta$$

单位ウェーバ$[\text{Wb}]$。

誘導起電力

在磁场中运动的导体、磁场的变化都会导致产生誘導起電力，中文感应电动势。或者说，是磁通量的变化。

因为 $\mathrm{\Phi }=\mathit{B}\cdot \mathit{S}$，由此我们可以把电磁感应分为两类：由 $B$ 变化产生的感生电动势，和由 $S$ 变化产生的动生电动势。

レンツの法則

闭合电路中感应电流所激发的磁场总是阻碍感应电流的磁场的磁通量的变化。

简单来说，就是感应电流的效果总是反抗感应电流的原因，努力阻止变化但最终失败。

ファラデーの電磁誘導の法則

$$V=-{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\Delta }t}}$$

其中负号表示电动势的方向阻碍磁通量变化的方向。

ローレンツ力による誘導起電力

即动生电动势。导体棒在匀强磁场中运动时，会产生动生电动势：

$$V=vBl$$

接下来我们尝试推导：

根据法拉第电磁感应定律：

$$V={\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{\Phi }}{\mathrm{d}t}}=B{\displaystyle \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}}=Blv$$

考虑这个电动势的非静电力的本质：

我们考虑导体内某相对于导体静止的载流子，它具有两个分速度：跟随导体机械运动的速度 $\mathit{v}$ 和在导体内定向移动的速度 $\mathit{u}$。

计算洛伦兹力：

$$\mathit{F}=q(\mathit{v}+\mathit{u})\times \mathit{B}=q\mathit{v}\times \mathit{B}+q\mathit{u}\times \mathit{B}$$

其中 ${\mathit{F}}_1=q\mathit{v}\times \mathit{B}$ 是推动载流子定向移动的非静电力，也就是产生动生电动势的非静电力。${\mathit{F}}_2=q\mathit{u}\times \mathit{B}$ 则是阻碍导体运动的安培力。由于洛伦兹力不做功，因此我们可以窥得动生电动势的本质（也是楞次定律的本质）：

${\mathit{F}}_2$ 做正功，说明导体作为电源提供电能；${\mathit{F}}_2$ 做负功，说明导体消耗机械能。

因此，楞次定律的本质其实是能量守恒。

誘導電場による起電力

即感生电动势。在日本教材中，$N$ 匝线圈由于磁通量变化产生的感生电动势：

$$V=-N{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{\Phi }}{\mathrm{\Delta }t}}$$

接下来我们考虑一圆形含时匀强磁场 $B=B(t)=B_0+kt$，计算距离中心 $O$ 距离为 $r$ 产生的感生电场 $V_r$ 的大小。

显然我们有：

$$V={\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathrm{\Phi }}{\mathrm{d}t}}=E(r)\cdot 2\pi r=Sk$$

即：

$$E(r)={\displaystyle \frac{Sk}{2\pi r}}$$

接下来我们分类讨论：

1. 当 $r<R$ 时，$S=\pi r^2$，有：

   $$E(r)={\displaystyle \frac{kr}{2}}$$

2. 当 $r\ge R$ 时，$S=\pi R^2$，有：

   $$E(r)={\displaystyle \frac{k{R}^2}{2r}}$$

值得注意的是，感应电场是非保守场，不能定义电势。

相互誘導

两个并列放置的线圈，给其中一个通电，变化的磁场会同时影响两个线圈，从而导致第二个线圈产生感应电流。

$$V_2=-M{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }{I}_1}{\mathrm{\Delta }t}}$$

其中 $M$ 为相互インダクタンス，单位为ヘンリー$[\text{H}]$。

自己誘導

通电线圈随着电流变化导致磁通量变化，会反过来产生电动势。

$$V=-L{\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }I}{\mathrm{\Delta }t}}$$

其中 $I$ 为自己インダクタンス，单位为ヘンリー$[\text{H}]$。

交流

交流

电压 $v$，电流 $i$，随着时间 $t$ 呈 $\sin /\cos$ 型变化。

记角周波数为 $\omega$，周期为 $T$，周波数为 $f$，有：

$$\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}=2\pi f$$

交流电的実効値是最大值的 ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$。

リアクタンス

即电抗。

• 誘導リアクタンス：线圈（电感 $L$）。线圈通过自感现象产生反向的电动势来阻碍电流变化。

  $X=\omega L=2\pi fL$。频率越高，电流变化越快，线圈产生的反向电动势越大，阻碍作用越强（电阻变大）。

• 容量リアクタンス：电容（$C$）。电容器通过充放电来通过交流电。

  $X={\displaystyle \frac{1}{\omega C}}={\displaystyle \frac{1}{2\pi fC}}$。频率越高，电荷充放电越快，电容器越容易通过电流（电阻变小）。

我们可以做如下总结：

抵抗	コイル	コンデンサー
$R$	$X_L=\omega L$	$X_C={\displaystyle \frac{1}{\omega C}}$
电压与电流相位相同	电压比电流早 ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ 相位	电压比电流晚 ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ 相位

可以想象一个图：电流向右，线圈的电压是竖直向上（电压比电流早），而电容的电压是竖直向下（电压比电流晚）。

这也很好理解：线圈需要先有电压才能产生电流（电流更晚），而电容需要先有电流才能产生电压（因此电压更晚）。

RLC 直列回路

把电阻、电感、电容串联，得到回路のインピーダンス（阻抗）$Z$。

由于相位不同，因此无法直接相加。在串联电路中，$I$ 不变，我们可以据此矢量合成 $V$。

最终我们可以得到：

$$Z=\sqrt{R^2+(X_L-X_C{)}^2}$$

即：

$$Z=\sqrt{R^2+{(\omega L-{\displaystyle \frac{1}{\omega C}})}^2}$$

至于阻抗的点位差，我们可以发现上述公式实际上是勾股定理的变形，亦即可以构成一个直角边分别长 $R,(X_L-X_C)$ ，斜边长 $Z$ 的直角三角形。相位差即是相位角（$\varphi =<R,Z>$）的三角函数，也即：

$$\tan \varphi ={\displaystyle \frac{X_L-X_C}{R}}$$

另外，$R,L,C$ 接续顺序与结果无关，其中也可以有 $0$ 的存在。

変圧器

电压比与线圈匝数之比相等：

$${\displaystyle \frac{V_1}{V_2}}={\displaystyle \frac{N_1}{N_2}}$$

理想变压器中能量守恒：

$$V_1{I}_1=V_2{I}_2$$

電磁波

変位電流

即麦克斯韦位移电流。

传统的安倍定律无法解释电容器对电流的阻断。麦克斯韦提出了位移电流：

即变化的电场会产生变化的磁场，变化的磁场再产生变化的电场，这就等效于位移电流。

由于：

$$I={\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}},E={\displaystyle \frac{Q}{{\epsilon }_{0}S}}$$

因此：

$${\displaystyle \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}}={\displaystyle \frac{I}{{\epsilon }_{0}S}}$$

那么：

$$I={\epsilon }_{0}S{\displaystyle \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}}={\epsilon }_0{\displaystyle \frac{\mathrm{d}{\mathrm{\Phi }}_E}{\mathrm{d}t}}$$

这就是麦克斯韦位移电流。

電磁波

前文中提到，变化的电场会产生变化的磁场，变化的磁场再产生变化的电场，这就使得电流可以不通过导线传播，即電磁波。

电磁波是横波，但是是两个横波的叠加。电场、磁场和传播方向相互垂直，且电场和磁场是同相位的。也即：$\mathit{E}\perp \mathit{B}$，传播方向为 $\mathit{E}\times \mathit{B}$。

光速：

$$c={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\mu }_0}}}$$

这证明了光是一种电磁波。

电磁波的速度可以表示成：

$$v={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{{\epsilon }_0{\epsilon }_r{\mu }_0{\mu }_r}}}={\displaystyle \frac{c}{n}}$$

其中 $n=\sqrt{{\epsilon }_r{\mu }_r}$，即为折射率。

電気振動

均匀变化的电场、磁场会产生稳定的磁场、电场，而稳定的磁场无法激发电场，继而无法得到持续的电磁波。

为了产生持续的电磁波，我们需要振荡的电场，这时候就需要用到 LC 振荡电路。

LC 振荡电路是一种包括电感和电容的电路，以以下四个周期为一个阶段：

1. $q=Q$，电路中 $i=0$，此时电能全部以电场的形式储存在电容中。
2. $1$ 逐渐放电，$q$ 减小，$i$ 增大，得到 $q=0,i=I$，此时电能全部以磁场的形式储存在电感中。
3. $2$ 逐渐充电，$q$ 增大，$i$ 减小，得到 $q=Q,i=0$，此时电能全部以电场的形式储存在电容中（与 $1$ 方向相反）。
4. $3$ 逐渐放电，$q$ 减小，$i$ 增大，得到 $q=0,i=I$，此时电能全部以磁场的形式储存在电感中（与 $2$ 方向相反）。
5. $4$ 逐渐充电，$q$ 增大，$i$ 减小，回到 $1$。

通过这种振荡电路，我们就得到了持续的电磁波。

接下来我们探索在这个过程中的能量变化：

显然我们有：

$$\begin{gathered} E_C={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{Q^2}{C}} \\ \begin{array}{rl}{E}_L& =\int \mathrm{d}{E}_L\\ & =\int L{\displaystyle \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}}\mathrm{d}q\\ & =LI\mathrm{d}I\\ & ={\displaystyle \frac{1}{2}}L{I}^2\end{array} \end{gathered}$$

据此，我们可以得到能量守恒公式：

$$E_C+E_L={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{Q_m^2}{C}}$$

亦即：

$${\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{Q^2}{C}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}L{I}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{Q_m^2}{C}}$$

可以类比 ${\displaystyle \frac{1}{2}}k{x}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2={\displaystyle \frac{1}{2}}k{A}^2$ 记忆。

类比于弹簧振子的角频率公式 $\omega =\sqrt{{\displaystyle \frac{k}{m}}}$，或者通过 $I={\displaystyle \frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}}$ 与基尔霍夫电压定律求解二阶微分方程，我们可以得到：

$$\omega =\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{LC}}}$$

自然我们可以得到周期：

$$T=2\pi \sqrt{LC}$$

以及固有周波数：

$$f={\displaystyle \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}}$$

電磁場中の荷電粒子の運動

一様な電場中の荷電粒子の運動

加速電場

考虑一水平向右的匀强电场 $E$，一带电量 $q$，质量为 $m$ 的带电粒子，以 $v_0$ 的初速度水平穿过电压为 $V$ 的区域。

则我们有：

$$\begin{gathered} a={\displaystyle \frac{qE}{m}} \\ v=v_0={\displaystyle \frac{qEt}{m}} \\ {\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2-{\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}_0^2=qV \end{gathered}$$

可得：

$$v=\sqrt{v_0^2+{\displaystyle \frac{2qV}{m}}}$$

偏向電場

考虑一水平向下的匀强电场 $E$，宽度为 $d$，一带电量 $q$，质量为 $m$ 的带电粒子，以 $v_0$ 的初速度水平运动。

则我们可以得到运动方程：

$$\{\begin{array}{l}x=v_{0}t\\ y={\displaystyle \frac{1}{2}}{\displaystyle \frac{qE}{m}}{t}^2\end{array}$$

在 $t={\displaystyle \frac{L}{v_0}}$ 的时候会完全穿过这段电场，我们可以得到：

$$\{\begin{array}{l}{v}_y=at={\displaystyle \frac{qEL}{m{v}_0}}\\ y={\displaystyle \frac{1}{2}}a{t}^2={\displaystyle \frac{qE{L}^2}{2m{v}_0^2}}\end{array}$$

一様な磁場中の荷電粒子の運動

${\mathit{v}}_{\mathbf{0}}//\mathit{B}$

匀速直线运动。

${\mathit{v}}_{\mathbf{0}}\perp \mathit{B}$

考虑垂直于平面，从里向外的匀强磁场 $B$，一带电量 $q$，质量为 $m$ 的带电粒子初速度为 $v_0$，在平面内运动。此时带电粒子受洛伦兹力：

$$F=q{v}_{0}B$$

影响，在平面内做匀速圆周运动。

由于：

$$F=q{v}_{0}B=m{\displaystyle \frac{v_0^2}{R}}$$

因此：

$$\begin{gathered} R={\displaystyle \frac{m{v}_0}{qB}} \\ \omega ={\displaystyle \frac{qB}{m}} \end{gathered}$$

平行でも垂直でもない場合

考虑水平向右的匀强磁场 $B$，一带电量 $q$，质量为 $m$ 的带电粒子，初速度为 $v_0$，且不与 $B$ 平行或垂直。

我们考虑分解 $v_0$ 为垂直于 $B$ 方向的 $v_{//}=v_0\cos \theta$，和垂直于 $B$ 方向的 $v_{\perp }=v_0\sin \theta$。

显然，带电粒子同时做水平向右的匀速直线运动，以及垂直于纸面的匀速圆周运动。

那么有：

$$R={\displaystyle \frac{m{v}_0\sin \theta }{qB}}$$

以及螺距：

$$h=v_0\cos \theta T={\displaystyle \frac{2\pi m{v}_0\cos \theta }{qB}}={\displaystyle \frac{2\pi R}{\tan \theta }}$$