運動量

力積と運動量

考虑一静止物体做功，有：

W = F s = m a \cdot \frac{v^{2}}{2 a} = \frac{1}{2} m v^{2}

考虑将 $F s$ ，即力在路程上的积累定义为功 $W$ ，右边的 $\frac{1}{2} m v^{2}$ 定义为动能 $E_{k}$ ，则我们可得动能定理：

W = Δ E_{k}

同样，我们考虑力在时间上的积累：

F t = m a \cdot a = m v

同样，我们将 $F t$ 定义为冲量（運動量） $I$ ， $m v$ 定义为动量（運動量） $p$ ，则我们可得动量定理：

I = Δ p

或者：

F Δ t = m Δ v

在系统所受合外力为 $0$ 的情况下，系统有动量守恒定律：

F d t = d p

或者：

m v_{1} + m v_{2} = m v_{1}^{'} + m v_{2}^{'}

下面尝试一般性的推导：

设有物体 $A, B$ ， $F_{1}, F_{2}$ 分别为 $B$ 对 $A$ 的作用力及 $A$ 对 $B$ 的作用力， $F_{1}^{'}, F_{2}^{'}$ 分别为 $A, B$ 收到其它外力之和，有：

(F_{1} + F_{1}^{'}) d t = d P_{1} (F_{2} + F_{2}^{'}) d t = d P_{2}

两式相加：

(F_{1} + F_{2}) d t + (F_{1}^{'} + F_{2}^{'}) d t = d P_{1} + d P_{2} = d P

由于：

F_{1} + F_{2} = 0

设 $F$ 为系统所受合外力，那么原式可以简化成：

F d t = d p

有下列两种情况值得注意：

$F = 0$ ，则 $d p = 0$ ，说明若系统所受合外力为 $0$ ，系统总动量守恒。
$F_{1}^{'} ≪ F_{1}, F_{2}^{'} ≪ F_{2}$ ，则仍有 $d p = 0$ ，说明若内力远大于外力（碰撞、爆炸瞬间），可以认为系统总动量守恒。

{\begin{cases} m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'} \\ \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{2} + \frac{1}{2} m_{2} v_{2}^{2} = \frac{1}{2} m_{1} v_{1}^{' 2} + \frac{1}{2} m_{1} v_{2}^{' 2} \end{cases}

一般根据上述式子即可求出 $v_{1}^{'}, v_{2}^{'}$ ，但计算量过大，我们可进行如下变形：

{\begin{cases} m_{1} (v_{1} - v_{1}^{'}) = - m_{2} (v_{2} - v_{2}^{'}) \\ m_{1} (v_{1}^{2} - v_{1}^{' 2}) = - m_{2} (v_{2}^{2} - v_{2}^{' 2}) \end{cases}

可得重要关系式：

v_{1} + v_{1}^{'} = v_{2} + v_{2}^{'}

可以解得：

{\begin{cases} v_{1}^{'} = \frac{m_{1} - m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{1} + \frac{2 m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{2} \\ v_{2}^{'} = \frac{2 m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{1} + \frac{m_{2} - m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{2} \end{cases}

我们定义恢复系数（反発係数） $e$ ：

e = - \frac{v_{1}^{'} - v_{2}^{'}}{v_{1} - v_{2}}

当 $e = 1$ 时，机械能不损失，发生完全弹性碰撞。 $e = 0$ 时，两物体最终共速，发生完全非弹性碰撞。

当 $0 < e < 1$ 时，发生非完全弹性碰撞。这种时候，动量守恒，但是机械能不一定守恒。我们有：

{\begin{cases} m_{1} (v_{1} - v_{1}^{'}) = - m_{2} (v_{2} - v_{2}^{'}) \\ e = - \frac{v_{1}^{'} - v_{2}^{'}}{v_{1} - v_{2}} \end{cases}

可解得：

{\begin{cases} v_{1}^{'} = \frac{m_{1} - e m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{1} + \frac{(1 + e) m_{2}}{m_{1} + m_{2}} v_{2} \\ v_{2}^{'} = \frac{(1 + e) m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{1} + \frac{m_{2} - e m_{1}}{m_{1} + m_{2}} v_{2} \end{cases}

并且有碰撞中损失的机械能：

Δ E = (1 - e^{2}) \frac{1}{2} \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1} + m_{2}} (v_{1} - v_{2})^{2}